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等价矩阵的秩相等吗,小知识:关于矩阵问题为什么秩相等就等价

高考数学 2021-12-30 04:28:59 1036 作者：文/学梯网

导读：矩阵问题为什么秩相等就等价相等。在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵）

知识点: 初等变换不改变矩阵的秩可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积证明: 设A与B等价则存在可逆矩阵P,Q满足 PAQ = B. 因为可逆矩阵可能表示成初等矩阵的乘积故 P = P1...

等价矩阵的秩相等吗

相等。在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵（P、Q)，使得A经过有限次的初等变换得到B。

等价矩阵性质

矩阵A和A等价(反身性）；

矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。