逆序数在行列式的意义

高考数学 2021-11-16 13:36:53

逆序数在行列式的意义

逆序数是为了确定行列式每一项的符号。行列式每一项由所有不同行和不同列的元素的乘积组成，符号取决于这n个不同行、不同列的元素的排列顺序。行列式主对角线元素的乘积一定是正号，而交换任意两列行列式变号，因此，可以通过将变换次数来确定每一项的符号。

逆序数就是n个数的一个任意排列经过多少次对调变成自然数列的次数，这两个数可能不一样，但是奇偶性一样，而行列式每项的符号只和奇偶性有关。要搞懂这个问题你要学习n元反对称线性函数。

对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。

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