正交矩阵是对称矩阵吗

高考数学 2021-11-16 08:00:21

正交矩阵是对称矩阵吗

不一定，要看具体情况，正交矩阵可能是对称矩阵，也可能不是对称矩阵，在特定条件不是，不是的时候居多。若AAT=E（AT为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转移矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

正交矩阵的定理

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；

方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；

A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

A的列向量组也是正交单位向量组。

正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。

一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。

n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

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